1. 为什么要证明
上下两条横线，哪条更长？调到你觉得一样长为止，再量一量。
n² − n + 41 = 5² − 5 + 41 = 61
61 是质数。
n 从 1 到 40，结果全是质数（绿色）；但 n = 41 时 41² − 41 + 41 = 41²，是合数。举再多例子也代替不了证明，而一个反例就能推翻一个命题。
2. 认识证明
- 判断一件事情的句子叫命题，由条件和结论组成，常写成”如果……那么……”。
- 正确的命题叫真命题，不正确的叫假命题。要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例。
- 公认的真命题叫基本事实（公理）；经过证明的真命题叫定理。
下列命题中，是假命题的是？
3. 平行线的证明
利用”同位角相等，两直线平行”等基本事实，可以证明三角形内角和定理及其推论：
- ∠A
- 59.7°
- ∠B
- 58°
- ∠A + ∠B
- 117.7°
- 外角 ∠ACD
- 117.7°
∠ACD = ∠A + ∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
证明：∠ACD + ∠ACB = 180°（平角），∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（内角和），所以 ∠ACD = ∠A + ∠B。推论：外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例题 证明：三角形的内角和等于 180°
- 已知 △ABC，求证 ∠A + ∠B + ∠C = 180°。
- 作辅助线：过点 A 作直线 DE ∥ BC。
- ∠DAB = ∠B，∠EAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
- ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180°（平角定义），所以 ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°。